Ekuazio diferentzial arruntak askatzeko zenbakizko metodoak

EDAk askatzeko zenbakizko metodoen bila

Zientzia, ingeniaritza, ekonomia, e.a. esparrutan gertatzen diren fenomenoak deskribatzeko eredu matematiko bat darabilgunean ohikoa da ekuazio diferentzialak agertzea. Ekuazio Diferentzial Arrunt bat (EDA) aldagai bakarraren menpe dagoen funtzio bat emaitzatzat duen eta deribatu arruntak agertzen direneko ekuazioa da. Deribatua kalkulatzen ari garen aldagaiari aldagai independente deritzo eta ekuazioko ezezaguna menpeko aldagaia da. Helburua aldagai independentearen zenbait baliotarako ezezagunaren balioa kalkulatzea da. Horretarako, EDA ezagutzeaz gain hasierako balioa ezagutzen da.

Hasierako balioko ekuazio diferentzial arrunt baten soluzio analitikoa era analitikoan emandako formula bat da. Emaitza hau, normalean, funtzio elementalak erabiliz ematen da (polinomioak, funtzio esponentzialak, logaritmikoak, trigonometrikoak, e.a). EDA baten soluzio analitikoa dugunean, posiblea da aldagai independenteari balioak emanez soluzioak edozein aldiunetan izango duen balioa kalkulatzea.

Hasierako balioko ekuazio diferentzial arruntaren zenbakizko soluzio bat aldiz, puntu diskretu batzuetako balio hurbilduen taula bat da. Balio hurbildu hauek ekuazio diferentziala eta zenbakizko metodo bat erabiliz pausoz pauso lortzen dira, eta menpeko aldagaiak aldagai independentearen balio batzuetan hartzen dituen balioen multzoa da. Zenbakizko metodoek emaitza analitikoaren hurbilpenak ematen dituzte aldagai independentearen puntu batzuetan. Emaitza analitikoa aurkitzea beti posible izaten ez denez, zenbakizko metodo onak eskura izatea balioko tresna da.

Zenbakiko metodorik sinple eta ezezagunetako bat Eulerren metodo esplizitua da. Metodo honek, aldagai independentearen balio batean ezezagunak eta deribatuak hartzen dituzten balioak ezagutuz, aldagai independentearen beste balio batean ezezaguna kalkulatzea ahalbidetzen du. Eulerren metodo esplizitua baino boteretsuagoa Eulerren metodo inplizitua da, esplizituak baino egonkortasun eremu handiagoa baitu. Biak dira pauso bakarreko metodoak, aurreko pausoko informazioa erabilita hurrengo pausokoa aurresateko gai baitira.

Zenbakizko metodoak ere hobetzen joan dira ordea. Esaterako, hor daude Runge-Kutta metodoak. Runge-Kutta metodoek pauso bakoitzean pauso horretako tarteko zenbait puntutako deribatua darabilte. Honi atal anitz izatea deritzo. Honela, Runge-Kutta metodoak pauso bakarrekoak eta atal anitzeko metodoak dira. Ideia hau Rungeri (1895) zor diogu. Ekarpen gehiago Heunek (1900) eta Kuttak (1901) egin zituzten. Hasiera baten ikerketa guztiak Runge-Kutta metodo esplizituetan zentratu baziren ere, gaur egun Runge-Kutta metodo inplizituak ere interesekoak dira, egonkortasun eremu handiak baitituzte.

Beste familia bat pauso anitzeko zenbakizko metodoek osatzen dutena da. Metodo hauek aurreko hainbat pausotako informazioa darabilte. Mota honetakoak dira, Adams Bashforth eta Moulton-en formulak edota Backward Differentiation Formula izenekoak. Harrez gero, zehaztasun eta egonkortasun ezaugarri oneko pauso anitzeko metodoak lortzeko bi norabide jarraitu dira bereziki –—nahiz eta hauek ez diren bakarrak—:

• Alde batetik, ordena altuagoko deribatuak erabili dira zenbakizko metodoaren formulan.
• Eta bestetik, super-etorkizuneko puntuak erabili dira, zeintzuetan, nahi dugun balioa kalkulatzeko ezezaguna kalkulatu nahi dugun tartetik haratago dagoen puntu bateko informazioa erabiltzen den.

Zenbakizko metodo bat erabiliz ekuazio diferentzialaren emaitza pausoz pauso eraikitzen dugun antzera, pausoz pauso gero eta zenbakizko metodo hobeak eraikitzen joan gara emaitza hurbilduaren eta zehatzaren arteko tartea gero eta txikiago eginez. Nor izango ote da gai dauden metodoak gaindituko dituen zenbakizko metodoa proposatzeko?

                                     “Sarrera honek #Kultura Zientifikoa I. Jaialdian parte hartzen du”